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本文为高二时期数列专题报告. 本文文字为按原文件抄写而成，若有误请告知. 本文尽量还原原文格式.

(资料图)

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第二章 数列与弹性碰撞

2.1 问题背景

如图 2.1所示，假定在地面上放置两个大小形状完全相同且具有规则形状的刚体，分别记为 m₁ 与 m₂，其中 m₁ 置于 m₂ 左边，且与墙壁有一段不为零的距离，m₂ > m₁。设 m₁ 的质量为 m > 0， m₂ 的质量为 Nm(N ≥ 1)，且 m₁ 一开始静止，而 m₂ 以速度 v₀ 向左运动。此时，为方便计算，不妨设右边为正方向。

由于 m₁ 静止而 m₂ 向其以 v₀ 运动，故必然会发生碰撞。而 m₁ 在碰撞后会带向左的速度撞向墙壁后再反弹。不妨设墙壁的质量 ，即 m₁ 与墙壁发生碰撞后会以原速返回。

这样，与墙壁碰撞后 m₁ 又会再次与 m₂ 碰撞，并重复此步骤有限次直至某次碰撞后 v₁, v₂ ≥ 0 且 v₁ ≤ v₂ 或 v₁ ≤ 0, v₂ ≥0 且 |v₁| ≤ v₂。设 m₁ 与m₂ 的碰撞次数为 n ∈ ℕ⁺，我们希望能算出它 们在第 n 次碰撞后的速度。

2.2 问题分析及构造数列

对于该问题，我们可以根据 1.3 和 1.4 两条公式构造两条数列 {vₙ} (n ∈ ℕ) 和 {Vₙ} (n ∈ ℕ)，设在第 n 次碰撞后 m₁ 的速度为 vₙ，m₂ 的速度为 Vₙ，有递推式: (为免与项 vₙ 混淆，此后 m₂ 的初始速度记为 u 而非 v₀)

而由于除首次碰撞外，第 n 次 m₁ 与 m₂ 碰撞前 m₁ 必须与墙壁发生碰撞，但由于第 n - 1 次 m₁ 和 m₂ 碰撞后 m₁ 会向左运动，故 vₙ₋₁ < 0，由于 m₁ 与 m₂ 碰撞前是沿正方向运动的，因此 vₙ 的递推式须乘上 -1 以改变其速度的方向。

要能直接求得其速度，我们必须求得两数列的通项公式。为了方便之后的计算，由于各通项公式中含有两数列的前一项，我们尝试构造新的数列，令上下两式系数对应相等 (如式 2.5 及 2.6，不讨论正负)。

设 ，代入上式得：

对比系数得：

代入得：

2.3 解通项公式

2.3.1 解法一

设 ，其中 ，即：

故 cₙ 是公比为 {(N - 1)/(N + 1) + (2√N) / (N+1) i} 的等比数列，由于 n ∈ ℕ，故其通项公式为：

由于 c₀ = a₀ + ib₀ = pv₀ + iqV₀ = iqu，故：

根据二项式定理，得：

由于 cₙ = aₙ + ibₙ，故若可以把 2.9 的实部与虚部分离，就可以分别得到 aₙ 和 bₙ 的通项公式。

结合上述两段证明，当 n 为非负偶数时，iⁿ 总是实数。即：

由此可得 {vₙ} 和 {Vₙ} 的通项公式：

2.3.2 解法二

结合知乎用户真强悍所写文章，递推式 2.5 及 2.6 可以利用换元来化简。

由于 (N - 1)/(N + 1) ∈ [0, 1)，我们尝试换 cosθ = (N - 1)/(N + 1)，其中 θ ∈ (0, π/2]，计算 sinθ 的值：

恰好为递推式中一项的系数。由此，递推式可改写为：

因此把此换元法代入解法一的 2.8 中，可得：

根据狄默夫公式，该式可以化简为：

抽离其实部和虚部，即有：

标签： 通项公式 的质量为 完全相同